\documentclass[twocolumn]{ctexart}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}%目录超链接
\usepackage{float}  %设置图片浮动位置的宏包
\usepackage{subfigure}  %插入多图时用子图显示的宏包
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{esint}
% 设置首行缩进距离
\setlength{\parindent}{2em}
\usepackage[a4paper,left=10mm,right=10mm,top=15mm,bottom=15mm]{geometry}
\title{工科数学微积分下总复习}  % 文章标题
\author{洛白}   % 作者的名称
\date{\today}       % 当天日期
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\newpage
\section{多元微分}
若考虑有关可微，可偏导，方向导数等题目
\begin{itemize}
    \item 从定义公式入手研究
    \item 附加条件+计算公式
    \item 选择特例证伪
\end{itemize}
\subsection{定义式和计算式}
偏导数，多元微分，连续，极限存在
\subsubsection{偏导数}
分界点的偏导数一定用定义。\textbf{偏导连续给出可微}
$$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x+x_0,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x
}$$
偏导数可以给出函数沿着$x,y$轴方向的变化，比如，如果$f_x(x,y)$存在，那么
$$\lim_{x \to x_0}f(x,y_0)=f(x_0,y_0)$$
如果函数里面存在$o(\rho)$，记得不要求导，要用\textbf{定义}
$$f(x,y)=g(x,y)+o(\rho)$$
偏导数$f_x(x_0,y_0)$可以\textbf{先代入某一个数$(y)$}，有时候比较好求,在计算\textbf{混合偏导}$f_{xy}(x_0,y_0)$的时候，可以\textbf{先计算$f_x(x_0,y)$,再对上面式子求y导}
需要特别注意，这里不可以直接代入$x=x_0$，需要应用定义。
\subsubsection{微分}
可微分给出\textbf{连续，偏导存在，任意方向导数存在}
$$\lim_{\rho \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-A\Delta x-B \Delta y}{\sqrt[]{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$$
其中，$A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$，计算式如下：
$$dz=f_xdx+f_ydy$$
\subsubsection{方向导数}
定义式：
$$\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
如果可微分，\textbf{沿任意方向的方向导数存在}，计算式：
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta$$
$$=\operatorname{grad} f.\vec{S_\text{切}}$$
有偏导数和方向导数\textbf{互相推不出来}
\subsubsection{梯度}
梯度的方向是函数变化最\textbf{快}的方向，梯度的\textbf{模}是方向导数的最大值。
$$\operatorname{grad} f=\nabla f(x, y)=\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right)$$
\subsubsection{一些特例}
记一些特例
$$\sqrt{x^2+y^2}$$
$$\frac{xy}{x^2+y^2}$$
偏导存在但是\textbf{不可微分}
$$\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0$$
可微分，偏导不连续
$$\sin{(\frac{1}{x^2+y^2})}(x^2+y^2)$$
\subsection{二元极值}
请问$z=\sqrt{x^2+y^2}$在$(0,0)$处是不是极值点
\subsubsection{无条件极值}
\textbf{[连续的二阶偏导数]}
求解驻点，求二阶偏导数$A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$,当$AC-B^2>0$时候为极值点，这时候看$A$的符号。推荐使用表格\textbf{法}。
\subsubsection{条件极值}
\textbf{[拉格朗日乘数法]}其驻点为可能的极值点。(各个偏导为0)(\textbf{加})
$$F(x,y,z,\lambda,\mu)$$
\subsubsection{连续二元函数在有界闭区域内的最值}
内部的无条件极值，边界的\textbf{条件极值}。
\subsubsection{谨慎使用带入约束条件}
多边界，直线形代入法比较好
\subsubsection{常用改动}
$|d|$改换为$d^2$，$ln$拆分开乘机
\subsection{几何应用和求导}
存在隐函数的条件（雅可比式）
\subsubsection{曲线}
切向量，切\textbf{线}，切\textbf{平面}。
$$\vec{S_\text{切}}=(1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$$
$$\vec{S_\text{法}}=(-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},1)$$
\subsubsection{曲面}
法\textbf{向量}，法\textbf{线}，\textbf{切平面(注意法向量的方向)}。注意求切平面也可以设为
$$Ax+By+Cz=\frac{Ax_0+By_0+Cz_0}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
$A\equiv f_x,B\equiv f_y,C\equiv f_z$
\\需要注意法向量的方向\textbf{可能有两个}。
\subsection{复合函数和隐函数}
\subsubsection{复合函数求导}
\begin{itemize}
    \item 可以画出\textbf{关系图}.(求\textbf{二阶导数}的时候也可以)
    \item 何时求导，何时求偏导。$\frac{dy}{dx}$[$y$只有$x$一条路时]（\textbf{中间变量}也是）
    \item 重复变量$z=f(u,x,y),u=g(x,y)$（也是画出\textbf{关系图}）
    $$f_1(u,v)_x'=f_{11}^{''}u_x+f_{12}^{''}v_x$$
    \item $z=f(x,u),u=xy$注意区分$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial x}$。
\end{itemize}
\textbf{这里会有一种
    题型，给出函数$f(x,y)$,同时给出$f(x,g(x)),f_x(x,g(x))$等信息。这里需要注意$f_x$是$f(x,y)$的导，把$y$看作常数}
\subsubsection{隐函数求导}
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$$
怎么看\textbf{能确定几个函数}？
\subsection{做题方法}
\subsubsection{极限不存在}
\begin{itemize}
    \item \textbf{设$k$},设$y=kx,y=kx^2$等等
    \item 找两条不同的具体的线，结果\textbf{不一样}或\textbf{不存在}
    \item 累次极限
\end{itemize}
\subsubsection{求极限}
\begin{itemize}
    \item 夹逼定理，使用\textbf{均值不等式}
    \item 分子根式有理化
\end{itemize}
\subsubsection{连续}
\begin{itemize}
    \item 定义存在
    \item 极限存在
    \item 定义等于极限
\end{itemize}
\subsubsection{均值不等式}
\subsubsection{极值点}
$$\lim _{x \rightarrow 0 . y \rightarrow 0} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=1$$
取$y=-x$,不是极值点
\subsubsection{链式法则,复合函数}
$F(x,y,u,v)\equiv x-x(u,v),$求$F_u$
$$x_u',y_u',v_u'=0?$$
\section{二重积分}
曲顶柱体的体积，平面薄片的体积.注意二重积分\textbf{不能代入曲线}，因为\textbf{不是边界}
\subsection{性质和计算}
  \begin{itemize}
      \item 中值定理
      \item 极坐标系
     $$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$
     \item \textbf{对称性，轮换性}\\
      \begin{itemize}
          \item 【对称性】划分积分区域对称(\textbf{正方形的三个顶点})，两个\textbf{相邻}顶点\textbf{对折}，找到需要补的线。（直线，曲线）
          \item 【轮换性】化定积分为二重积分，利用积分区间的轮换性，构造\textbf{相等的}另外一个\textbf{积分}，进行加和或者其他操作得到比较容易证明的不等式。
        $$
        \iint_{D} f(x, y) d \sigma=\frac{1}{2} \iint_{D}[f(x, y)+f(y, x)] d \sigma$$
      $$
      \iint_{D_1} f(x, y) d \sigma=\frac{1}{2} \iint_{D_1+D_2} f(y, x) d \sigma$$  
        \end{itemize}
  \end{itemize}
  \subsection{确定积分限}
\subsubsection{直角坐标}
先对谁积分做平行与谁的线，找\textbf{与直线交点}上面的最大最小。找\textbf{间断点}，画\textbf{多}条线。
\subsubsection{极坐标}
画出一条极径，伸缩确定$r$,摆动确定$\theta$。确定\textbf{间断点}，分段。
$$r=r(\theta)>0$$
以上方程也可以用来计算$\theta$的范围
\subsection{交换积分次序}
(无初等函数的。)确定积分限的逆运算。先确定线的\textbf{可移动区间}，再画图。
\subsection{常数表达式变形}
  \subsection{题型}
  \begin{itemize}
      \item 比较积分大小
  \end{itemize}
\section{三重积分}
\subsection{三重积分的计算}
\subsubsection{先一后二}
压成平面薄片，先求线密度。先谁画一条\textbf{平行}与哪个轴的线，找上下限（投影图上）。
\subsubsection{先二后一}
压成杆，把平面的质量当作线密度\\
```被积函数若是一元的，二重积分可以口算'''
\subsubsection{球坐标}
\begin{itemize}
    \item 画极径，伸缩，摆动，旋转。
    \item $x=r\cos \theta \sin \phi,y=r\sin \theta \sin \phi,z=\cos \phi$
    \item $dxdydz=r^2\sin \phi drd\theta d r$
\end{itemize}

\subsubsection{柱面坐标}
画极径，曲面上下方程已知，\textbf{中间是个圆的}。
\subsection{假如曲面\textbf{不好画出}的时候}
请熟练掌握先一后二和先二后一，理解\textbf{怎么来}的。（面，杆）
\section{曲线积分}
\subsection{第一型曲线积分的一般计算}
\subsubsection{基本计算}
$$\mathrm{d}S=\sqrt{a'(t)^2+b'(t)^2}\mathrm{d}t$$
$$\mathrm{d}S=\sqrt{1+y'(x)^2}\mathrm{d}x$$
\subsubsection{性质应用}
\begin{itemize}
    \item 线段化为参数方程
    \item 对称性和\textbf{轮换性}的应用
\end{itemize}
\subsection{格林公式}
注意是后面减去前面，\textbf{一般给出方向就用格林公式}
$$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y$$
\subsubsection{封闭曲线，偏导数不连续}
注意原点在不在里面，注意\textbf{分类讨论R的范围}\\
$$\frac{x d y-y d x}{{a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2}}}$$
常用\textbf{部分带入}，注意\textbf{方向}问题，
注意添加折线的时候,\textbf{不要经过坐标原点},经过原点时，可以添加\textbf{曲线}化简分母。
\subsubsection{格林公式求面积}
$$S_D=\frac{1}{2} \int_{L} x d y-y d x$$
\subsubsection{逆用简化二重积分}
\subsubsection{全微分函数}

\subsection{两类曲线积分之间的联系}
$$\int_{L} P d x+Q d y=\int_{L}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s$$
\subsection{曲线的法向量和切向量}
$$\mathrm{d}S\vec{S_\text{切}}=(\cos \alpha,\cos \beta )\mathrm{d}S=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$$
$$\mathrm{d}S\vec{S_\text{法}}=(-\cos \beta,\cos \alpha )\mathrm{d}S=(-\mathrm{d}y,\mathrm{d}x)$$
$$\vec{S_\text{切}}=(1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=(-F_y,F_x)\frac{-1}{F_y}$$
$$\vec{S_\text{法}}=(-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},1)=(F_y,F_x)\frac{1}{F_x}$$
\section{曲面积分}
\subsection{计算方法}
一代\textbf{二换}三投影（规范写，写的时候带上$\mathrm{d}$）
$$\mathrm{d}S=\sqrt{1+Z_x^2+Z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
注意对于消不掉的就需要往别的面上去投影，还需要分前后，$z=0$可以，$z$从$0$到$h$柱面不行
\subsubsection{重构积分表达式}
用微元法重构表达式（柱面）（关于$z$的一元函数）
\subsubsection{柱面坐标系}
\subsection{应用}
\textbf{曲面的}质心，转动惯量。
$$\mathrm{d}I_x=\rho(x,y,z)(y^2+z^2)$$
\subsection{对坐标的曲面积分}
一代二换（正负，看$\vec{n}$【$\cos \alpha$><=0】）三投影
$$\vec{v}\vec{n}\mathrm{d}S$$
\subsection{高斯公式}
    联系\textbf{曲面积分与三重积分}，注意\textbf{封闭曲面的外侧}
    \[\oiint_{\Sigma} P \mathrm{dydz}+Q \mathrm{dzdx}+R \mathrm{dxdy}=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} \Omega\]  
\subsubsection{封闭的}
注意\textbf{封闭曲面的外侧}
\subsubsection{不封闭的，但是直接计算太麻烦}、
注意\textbf{所补曲面的方向}
\subsubsection{封闭的,原点\textbf{偏导不连续}或者不能补平面的}
补充里侧
\subsection{两者之间关系曲面的法向量}
用于把第二型都化为同一个面积微元的。
$$\vec{n}\mathrm{d}S=(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$$
$$\vec{n}=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)\equiv(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)\equiv(F_x,F_y,F_z)$$
\subsection{推广与规定}
\subsubsection{通量，散度}
通量$\Phi$
$$\Phi=\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d \vec{S}=\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x+R d x d y$$
\textbf{散度}$div$的定义式：
$$\operatorname{div} \bar{F}=\lim _{\Omega \rightarrow M_{0}} \frac{\Phi}{v}=\lim _{\Omega \rightarrow M_{0}} \frac{1}{v} \int_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S$$
计算式：
$$\operatorname{div} \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$
\subsubsection{环流量，旋度}
向量场$\vec{A}=P\vec{i}+Q\vec{J}+R\vec{k}$沿着$L$的\textbf{环流量}：
$$\oint_{L}\vec{A}\mathrm{d}\vec{r}=\oint_{L}(P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}x+R \mathrm{d}x+)$$
向量场$\vec{A}=P\vec{i}+Q\vec{J}+R\vec{k}$的\textbf{旋度}：
$$\begin{vmatrix}
    \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
    \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
    \boldsymbol{P} & \boldsymbol{Q} & \boldsymbol{R}
    \end{vmatrix}$$
\subsubsection{斯托克斯公式}
联系\textbf{封闭}曲面积分和\textbf{曲线积分},满足\textbf{右手法则}，主要是改变了\textbf{旋度}的第一行成下面两种形式：
$$(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}z,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$$
$$\vec{n}=(\cos \aleph, \cos \beta ,\cos \gamma)$$
\section{无穷级数}
\subsection{常数项级数}
部分和$s_n=\sum_{n=1}^{n} u_{n}$
\subsubsection{基本性质}
\begin{itemize}
    \item 首先就是如果$\lim_{n\to \infty}u_n\ne 0$，\textbf{那么一定发散。}
    \item 收敛的数列互相加减，加减\textbf{有限}项，乘以\textbf{非零}常数，不改变敛散性
    \item 收敛数列加括号仍然\textbf{收敛}，去括号则不一定。
    \item 收敛加收敛等于收敛，收敛加发散等于发散，\textbf{绝对收敛加绝对收敛等于绝对收敛，绝对收敛加条件收敛等于条件收敛}
    \item 只有\textbf{$P$级数}是$>1$的时候收敛，只有\textbf{比较和根值}$=1$的时候不能判断
\end{itemize}
\subsubsection{常见数列的敛散性}
\begin{itemize}
    \item 等比数列:
    \[S_n=\sum_{i=1}^{n}a_1p^{i-1}=a_1\frac{1-x^n}{1-x}(|x|!=1)\]
    \item\hypertarget{p}{ p-级数：}
    \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\]
\end{itemize}
\subsubsection{正项级数常用的审敛法}
\begin{itemize}
    \item 部分和有界（单调有界）
    \item 比较审敛法（小于收敛的，大于发散的）
        \begin{itemize}
            \item 1.\textbf{使用不等式}，常见不等式如下：
\end{itemize}
            $$a^2+b^2>2ab$$
            $$\ln(1+x)<x$$
            $$\sin x<x$$
            $$|\sin x|<1$$
            举例如下
            $$\frac{a_n}{n}=a_n\frac{1}{n}<a_n^2+\frac{1}{n^2}$$
    \item 比较审敛法的极限形式
    \[\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l\]
    常常和\textbf{\hyperlink{p}{p-级数}}和\textbf{同阶无穷小}结合在一起使用
    \item 比值审敛法
    \[\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho \]
    \item 根值审敛法
    \[\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho \]
    \item 积分审敛法
    \par
    $f(x)$单调递减并且为正数。
\end{itemize}
\subsubsection{交错级数}
    \begin{itemize}
        \item 莱布尼茨审敛法
        \par
        如果$u_n\ge u_{n+1}$\textbf{（单调递减）}并且$\lim_{n \to \infty}u_n=0$,则交错级数收敛,并且$s\le u_1,|r_n|\le u_{n+1}$
    \end{itemize}
\subsubsection{绝对收敛和条件收敛}
\begin{itemize}
    \item 如果$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$绝对收敛（\textbf{必收敛}）。
    \item 如果$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$发散，\textbf{同时}$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$收敛，称其为\textbf{条件收敛}。
\end{itemize}
\textbf{注意条件收敛是交错级数收敛，加绝对值发散。}
\subsection{常见的判断收敛的条件}
\begin{itemize}
    \item 如果$u_n^2$收敛，那么$\frac{a_n}{n}$\textbf{绝对收敛}
\end{itemize}
\subsection{幂级数}
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$$
\subsubsection{收敛域和收敛半径}
虽然但是，记住\textbf{怎么推导}出这个公式就行，对于端点要\textbf{单独判断}。
$$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}x_{n+1}}{a_nx_n} |<1，  R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n} |$$
\subsubsection{阿贝尔定理和其他抽象问题}
已知如下函数在某点$x_1$的\textbf{敛散性}$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$
\begin{itemize}
    \item 如果在$x_1$处\textbf{条件收敛}，那么$R=|x_1-x_0|$,对于区间内的每一点，都\textbf{绝对收敛}。
    \item 如果在$x_1$处\textbf{条件收敛}，那么$R\ge |x_1-x_0|$
\end{itemize}
同时，利用上述\textbf{敛散性}，我们尝试讨论如下级数的\textbf{敛散性}
$$\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x-x_2)^n$$
\begin{itemize}
    \item 对级数逐项\textbf{求导}或者\textbf{积分}，收敛半径\textbf{保持不变}，收敛域可能\textbf{缩小}或者\textbf{变大}。
    \item 对级数做\textbf{平移}，收敛半径不变。
    \item 提出或者乘以因式$(x-x_0)^k$,收敛半径不变
\end{itemize}
\subsubsection{运算规则}
\begin{itemize}
    \item 加减 $R=MIN\{R_1,R_2\}$
    \item 逐项积分
    \item 逐项求导
\end{itemize}
\subsubsection{和函数}
如果$a_n$是等比级数，并且级数收敛，存在：
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{1}{1-q}$$
幂函数求和的\textbf{注意事项}：
\begin{itemize}
    \item 始终不要忘记标注\textbf{收敛域}
    \item \textbf{积分的下限}通常取\textbf{中心点}
\end{itemize}
下面给出两个经典的例题，便于规范书写：
$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$$
逐项求导,$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}(-1<x<1)$,所以$S(x)=\int_a^xS'(x)dx$
\subsubsection{重要的展开}
$$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}(-\infty<x<\infty)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}(-1<x<1)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n=\frac{1}{1+x}(-1<x<1)$$
$$ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\int(-x)^n dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1} (-1<x<1)$$
$$\sin x=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-\infty<x<\infty)$$
$$\cos x=(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}(-\in·fty<x<\infty)$$
\subsubsection{函数展开成幂级数}
一般我们不使用直接展开方法，大多使用\textbf{间接展开}。
\subsection{傅里叶级数}
假设$f$的$n$次积分为$I_{f}^{n}$,$n$次求导为$D_{f}^{n}$,那么存在：
$$\int f(x)g(x)\mathrm{d}x=\sum_{i=0}^{x_0-1}{I_{f}^{i+1}D_{g}^{i}}+\int{I_{f}^{n}D_{f}^{n}}\mathrm{d}x$$
而对于\textbf{傅里叶级数},我们有
$$a_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(x)\mathrm{d}x$$
$$b_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(x)\mathrm{d}x$$
显然我们可以使用上面提到的结论，下面给出两个例子
\subsubsection{可以求导求到0}
$$f(x)=x^2$$
$$\begin{aligned}
    a(x)=&\int x^2\cos(nx)\mathrm{d}x
    \\=&\sum_{i=0}^{2}{I_{f}^{i+1}D_{g}^{i}}=\sum_{i=0}^{2}{D_{g}^{i}\cos(nx-\frac{n}{2}i )\frac{1}{n^i} }
    \end{aligned}$$
\subsection{三角级数}
\section{一阶微分方程}
% \usepackage{color}
\begin{table}
    \centering
    \begin{tabular}{ll} 
    \hline
    方程类型   & 特点（标准型）                                   \\ 
    \hline
    变量可分离  & $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$                  \\
    齐次方程   & $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$         \\
    一阶线性方程 & $\frac{d y}{d x}+p(x) y=Q(x)$             \\
    伯努利方程  & $\frac{d y}{d x}+p(x) y=Q(x) y^{\alpha}$  \\
    全微分方程  & 偏导数相等                                     \\
    积分方程   & 求导变成微分方程                                  \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{table}
\subsection{变量可分离方程}
$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$
\subsection{齐次方程}
$$\frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x})$$
转换变量，$y=ux,\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+u$,化成\textbf{可分离变量类型}\\
$$\frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d} x}{x}$$
对于一般的函数$f(x,y)$如果\textbf{每个单项式}的\textbf{次数相等}，那么就是\textbf{齐次方程}
\subsubsection{引申}
$$\frac{dy}{dx}=cos(x+y)$$
可以设$u=x+y$
\subsubsection{平移现象（化为齐次方程）}
$$\frac{d y}{d x}=\frac{x-y+1}{x+y-3}$$
求交点，换变量
\subsection{一阶线性方程}
$$\frac{d y}{d x}+p(x) y=0$$
$$x=Ce^{-\int P(x)}\mathrm{d}x$$
$$\frac{d y}{d x}+p(x) y=Q(x)$$
考虑左边乘$e^{-\int P(x)}$,化为微分再积分，得：
$$y=e^{-\int P(x)}\mathrm{d}x(\int e^{\int P(x)}Q(x)\mathrm{d}x+C)$$
\subsubsection{翻跟头}
\textbf{对换}$x$和$y$的位置，化成一阶线性方程或者伯努利方程
\subsubsection{初值问题，考虑变上限积分}
期末不会考
\subsection{伯努利方程}
$$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) y^{\alpha}$$
变量代换，设$z=y^{(1-\alpha)}$,同时乘以$\frac{(1-\alpha)}{y^{\alpha}}$
$$P_1(z)=(1-\alpha)P(z)$$
$$Q_1(z)=(1-\alpha)Q(z)$$
\subsubsection{翻跟头}
\textbf{对换}$x$和$y$的位置，化成一阶线性方程或者伯努利方程

\subsection{全微分方程}
满足$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$的：
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
\subsubsection{凑微分法}
$$du+dv=d(u+v)$$
$$udv+vdu=d(uv)$$
部分积分，\textbf{分项组合}，合并微分
\subsubsection{积分因子}
部分积分，\textbf{分项组合}不下去的时候，构造适当的积分因子。
\subsubsection{积分方程}
变上限定积分。
\subsubsection{求和函数}
\subsection{一些特殊的高次微分方程}
\subsubsection{m个$C$}
\subsubsection{可以降阶}
\subsubsection{没有$x$}
对于$y''=f(y,y')$类型的微分方程。设$P=y'$,那么
$$y''=\frac{dP}{dx}=\frac{dP}{dy}\frac{dy}{dx}=P\frac{dP}{dy}$$
代入，化简，求积分。
\subsection{二阶线性微分方程}
$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$$
\subsubsection{二阶\textbf{常系数、齐次}线性微分方程}
$$y''+py'+qy=0$$
我们假设它的解$y=e^{rx}$,代入化简可得 
$$(r^2+pr+q)y=e^{rx}=0$$
可以得到两个特征解，$r_1$和$r_2$。同时对于有不同的$\delta$情况,都可以给出两个线性无关的解$y_1$和$y_2$如下:
\subsubsection{如果$\delta>0$}
$$y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}$$
\subsubsection{如果$\delta=0$}
$$y_1=e^{rx},y_2=xe^{rx}$$
很显然我们可以得出$y_1$，代入验证$y_2$成立
\subsubsection{如果$\delta<0$}
给出\textbf{欧拉公式}如下：
$$e^{i\theta}=\cos \theta +\sin \theta i$$
$r_1,r_2=\alpha\pm \beta i$,两个解为：
$$y_1'=e^{(\alpha x+\beta i)}=e^{\alpha x}(\cos \beta x +\sin \beta i x)$$
$$y_2'=e^{(\alpha-\beta i)}=e^{\alpha x}(\cos \beta x -\sin \beta i x)$$
由于\textbf{叠加原理}：
$$y_1=\frac{y_1'+y_2'}{2}=e^{\alpha x}\cos \beta x $$
$$y_2=\frac{y_1'-y_2'}{2}=e^{\alpha x}(i\sin \beta x)\equiv e^{\alpha x}\sin \beta x$$
\\
同时我们可以给出上面三种类型\textbf{通解}的形式：
$$Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$
\subsection{二阶\textbf{常系数、非齐次}线性微分方程}
$$y''+py'+qy=f(x)$$
通解形式如下：
$$y=Y+y^*$$
其中$y^*$是一个\textbf{常系数、非齐次}线性微分方程的一个特解，$Y$是二阶\textbf{常系数、齐次}线性微分方程的通解。
\subsection{待定系数法求解$y^*$}
$$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$$
根据\textbf{常数变易法}，我们可以推测它的解应为$y^*=e^{\lambda x}Q(x)$的结构。然后用$y^*,y'^*,y''^*$代入方程，可以解得：（\textbf{请读者务必记住这个式子，因为它实在太重要了}）
\begin{equation}
    Q''(x)+Q'(x)(2\lambda+p)+(\lambda^2+p\lambda+q)Q(x)=p_m(x)
\end{equation}
接下来我们通过特征方程解和$\lambda$的关系展开讨论：($Q_{m+i}=Q_m*x^i$,注意不要被下面误导，孩子太懒了，不想改了\textbf{,还有就是上面式子中的$Q(x)$其实是$=Q_m*x^i$})
\subsubsection{如果$\lambda$是特征方程的\textbf{二重根}}
那么显然$(\lambda^2+p\lambda+q=0),(2\lambda+p=0)$,那么我们可以得出$y^*$
$$y^*=e^{\lambda x}Q_{m+2}(x)$$
这里书上写的是$=x^2e^{\lambda x}Q_{m}(x)$
\subsubsection{如果$\lambda$是特征方程的\textbf{一重根}}
那么显然$(\lambda^2+p\lambda+q=0)$,那么我们可以得出$y^*$
$$y^*=e^{\lambda x}Q_{m+1}(x)$$
\subsubsection{如果$\lambda$\textbf{是}特征方程的\textbf{0重根}}
同里我们可以得出$y^*$
$$y^*=e^{\lambda x}Q_{m+0}(x)$$
\subsubsection{$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$}
解析见上。
\subsubsection{$f(x)=e^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+P_{n}(x)\sin \omega x\right]$}
这里利逆用\textbf{欧拉公式}化简$f(x)$
$$\begin{aligned}
    f(x)&=e^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+P_{n}(x)\sin \omega x\right]\\
    &=e^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \frac{e^{iwx}+e^{-iwx}}{2} +P_{n}(x)\frac{e^{iwx}-e^{-iwx}}{2i}\right]
    \\&=e^{(\lambda+wi)x}(\frac{P_l(x)}{2}+\frac{P_n(x)}{2i} )+e^{(\lambda-wi)x}(\frac{P_l(x)}{2}-\frac{P_n(x)}{2i} )
    \end{aligned}$$
    对于上面式子左右分别找出通解(i表示$\lambda+wi$是几重根，只有1或0)($m=max(n,l)$)
    $$y^*_{L}=e^{\lambda+wi}Q^L_{m+i}(x)=Q^L_{m+i}(x)e^{\lambda x}(\cos w x +i\sin w x)$$
    $$y^*_{R}=e^{\lambda-wi}Q^R_{m+i}(x)=Q^R_{m+i}(x)e^{\lambda x}(\cos w x -i\sin w x)$$
    通过一系列神奇的操作，我们可以证明$Q^L_{m+i}(x)$和$Q^R_{m+i}(x)$共轭，所以$y^*_{L}$和$y^*_{R}$相加没有虚部，通解形式如下：
    $$
    e^{\lambda x}(R_{m+i}^{(1)}(x)\cos w x +R_{m+i}^{(2)}(x)\sin w x)
    $$
    \subsection{常见题型}
    \subsubsection{分析解的结构}
    通过特解找到\textbf{原}微分方程。几阶方程有几个$C$.（注意是\textbf{齐次的}还是\textbf{非齐次}的）
    $$r=\alpha +\beta i$$
    如果\textbf{只有}一个特解：
    \subsection{欧拉方程}

\section{其他记忆内容}
\subsection{含有参数的变上限积分求导}

\subsection{积分}
\section{应用题}
\end{document}